[４]　２変量間の関係

[4.1] 相関と相関係数

4.1.1 相関と回帰

相関：一対の変数 X と Y の間の直線的な関係。X が大になれば Y も大になるか、逆に、X が大になれば Y が小になるという関係。 　相関があるからといって、ただちに、それらの間に因果関係が成り立つことを意味するわけではない。
（例：成人男性の身長と体重の関係、英語の成績と数学の成績の関係）

回帰：２つの変数間の線型的相関関係に基づいて、一方の変数の値から 他方の変数の値が予測できる。その関係を記述する直線を回帰直線という。

4.1.2 ピアスンの積率相関係数

相関係数：２つの変数 X, Y の相関の直線的な強さを表す指標。

　ピアスンの積率相関係数 r ＝ ＸとＹの共分散 / Ｘの標準偏差 * Ｙの標準偏差
　(標本の相関係数は r, 母集団の相関係数はρで表す。)

　共分散：Ｘの偏差とＹの偏差の積を総和し、データ数 (N - 1) で割った値。

　　　共分散 Sxy ＝Σ (Xi - X)(Yi - Y) / ( N - 1 )

　　A… Xの偏差、Yの偏差が２つとも正ならば、その積は正となる。
　　B… Xの偏差、Yの偏差が２つとも負ならば、その積は正となる。
　　C… Xの偏差が正、Yの偏差が負ならば、その積は負となる。
　　D… Xの偏差が負、Yの偏差が正ならば、その積は負となる。
　　　A, B のデータが多いと、２つの偏差の積の総和（共分散）は正となる。→正の相関
　　　C, D のデータが多いと、２つの偏差の積の総和（共分散）は負となる。→負の相関
　　　A, B, C, D に平均して分布していると、共分散は０に近づく。→相関なし。

4.1.3 相関係数ｒの解釈

ｒは、 -1 <= r <= 1 の値をとりうる。ｒ＝|1| のとき、完全な線型関数。
r > 0 のとき、正の相関、 r < 0 のとき負の相関。

|r| の値	ｒの（一般的な）解釈
1	２変量間に完全な線型相関がある
0.9 以上	２変量間に非常に高い相関がある
0.7 以上 0.9 未満	２変量間に高い相関がある
0.3 以上 0.7 未満	２変量間に中くらいの相関がある
0.3 未満	２変量間に低い相関がある
0	２変量間に全く線型相関がない

相関と因果関係　…　相関関係は因果関係を必ずしも含意しない。
見かけの相関　…　第３の変数Ｚの存在によって、ＸとＹの表面上の相 関が高くなることもあり得る。
決定係数　ｒ²　…　Ｘの分散によって説明さ れるＹの分散の比率＝相関係数の２乗。比例尺度として比較が可能。
　　　　　　　　　説明できない比率＝非決定係数 k² = 1 - r²

4.1.4 r に影響する要因

・範囲の効果　…　全体の母集団からの標本ではなく、一部分だけの標本に基づいて算出すると偏った相関が得られる。（切断の効果）
　　　　　　　　　一般に、一部分の下位標本についての相関は、全範囲の標本の相関よりも低くなる。
・群合併の効果　…　平均値において異なる２つの群を合併して計算すると誤って高い相関が得られる。
・２次的関係　…　半円形に分布するX, Y は２次的関係があるが、直線的相関係数は０に近い。

4.1.5 ファイ係数

ファイ係数：変数の取りうる値が２種類だけ（たとえば性別、病歴・喫煙の有無など）変数（２値変数）のデータから２×２分割表（クロス集計表）を作り、計算される特殊な相関係数。

　　　　φ = sqrt( χ² / N )

このファイ係数は、0から1までの間の値を取り、２つの２値変数の連関の強さを表します。（第10回参照）

[4.2]　相関と散布図

　新聞投書データにおける名詞率と漢字率の相関を調べよう。

4.2.1 相関係数

■　数量データの準備
　新しいブックを開き、Sheet１に「漢字率・名詞率相関」とタイトルを入力する。
　データ表シートの漢字率データを新しいワークシートＡ列に、名詞率データをＢ列にコピーアンドペーストする。
■　相関係数を計算する
Ｆ列に「漢字率の平均」、「名詞率の平均」と入力、Ｇ列にそれぞれの値を計算する。
Ｃ列に「漢字率の偏差」、Ｄ列に「名詞率の偏差」を計算し、Ｃ列とＤ列の散布図を図示する。
Ｅ列に「偏差の積」と入力し、（漢字率の偏差＊名詞率の偏差）を計算する。
Ｅ列下に「共分散」と入力し、Ｅ列の総和／（データ数−１）を計算する。
Ｅ列下に「相関係数」と入力し、共分散／（漢字率の標準偏差＊名詞率の標準偏差）を計算する。
　相関係数：　=correl( data1, data2 )

4.2.2　散布図を描く

■　散布図を描く
グラフウィザードから、「散布図」を選択。
データ範囲を指定（「先頭をラベルとして使用」にチェック）。
「目盛」タブで、最大値、最小値を調節。（グラフ領域全体にわたって表示するように。）
タイトル、X軸ラベル、Y軸ラベルを入力（凡例は不要）。
「データ系列の書式設定」で、データ表示のスタイル、サイズを調整。

■　回帰直線と相関係数を追加
グラフ中の任意の点を右クリックし、「近似曲線の追加」を選択するとダイアログが開く。
ダイアログパネルで、「線形近似」を選択し、「回帰式」と「R-2乗値」の表示にチェックを入れる。
表示されたテキストの位置を適切な場所に配置する。
（注）マウスをドラッグしてテキストボックスを作り、テキストをキー入力して、適当な場所に移動してもよい。

■　回帰直線　…　２つの変数間の関係を記述する直線。
　回帰直線　Ｙyx ＝ ayx + byxＸ
　　　　　　　（Ｙ：Ｘにより予測されるＹの値、a, b ：回帰定数）
　最小２乗法　…　実際のＹと予測されるＹとの誤差（予測誤差）の２乗和をもっとも小さくするような a, b の値を求める。

4.2.3 相関行列

■　データの準備
「データ表」ワークシート全体を選択し、新規ワークシート「数量データ」に複写する。
複写したデータのうち、質的データ（性別、声喩、慣用句など）を削除し、数量データのみを残す。