[８]　ｔ−検定：２つの平均値差の検定

　２つの母集団の平均値 μ₁, μ₂ の間に差があるかどうかを検定する。２つの母集団に対応する２つの標本から得られた平均値 X~₁ と X~₂ の差を手がかりとし、その差（を変換した値）がある値（臨界値）と比較して、差が有意かどうかを判定する。

[8.1] 独立した標本

8.1.1 独立

8.1.2 検定の手順

1. 仮定：
   　　　1. 両群は独立であり、各群の被験者は独立かつ無作為に抽出されたものである。
   　　　2. 母分散は等質であり、(X~₁ - X~₂) の母集団の分布は正規である。
2. 仮説：
   　　　H₀：μ₁ ＝ μ₂
   　　　H₁：μ₁ ≠ μ₂（⇒両側検定）
   　　　またはμ₁ ＞ μ₂（⇒右片側検定）
   　　　またはμ₁ ＜ μ₂（⇒左片側検定）
3. 決定のルール：
   　　　有意水準αを定め、自由度 n₁+n₂-2 に対応する t の値（臨界値）を t 分布表から読み取る。（両側検定のときは、α/2 に対応する t 値。）
   　　　（Excelでは、両側検定のときtinv(α, df)、片側検定のときtinv(2*α, df)で求める）
4. 検定量の計算：
   　　２母集団の分散が未知なので、２つの標本の分散で代用する。
   
   　　検定量 t₀ ＝ (X~₁ - X~₂) ／ S_X~1-X~2
   
   　　大標本（n>30)で、母分散が等しいとき、t₀ ＝　　　 (X~₁ - X~₂)　　　　
   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 sqrt(( S²₁ / n₁ ＋ S²₂ / n₂ )
5. 結論：
   　標本から得られる検定量（の絶対値）が臨界値よりも大きければ帰無仮説を棄却、そうでなければ帰無仮説を採択する。

[8.2] 正規性と等分散性

　２つの母集団の平均値差を検定する際に、「２つの母集団は正規分布をする」ことが前提されている。また、２つの母分散が等しいかどうかを、前もってチェックしておく必要がある。

8.2.1 正規性

　２つの母集団の分布が正規であれば、(X~₁-X~₂) の標本分布も正規となる。　たとえ、２つの母集団が正規でなくても、標本のサイズが十分に大であれば、正規性は保障される。（中心極限定理）

8.2.2 等分散性の検定（Ｆ検定）

　平均値差検定の前検定として、等分散性の検定（F 検定）を行う。
　母集団の分散は標本の分散に反映される。→２つの標本分散の比（F 値）を求める。

1. 仮説
   H₀:σ²₁＝σ²₂（分散が等し い）
   　　　　　H1:σ²₁≠σ²₂（分 散が等しくない）
2. 決定のルール
   有意水準 α=0.25 くらいに設定し、分子（分散の大きい標本）・分母（分散の小さい標本）となる標本の自由度に基づき、F分布から臨界値を読み取る。
3. 検定量の計算
   　　　F₀ ＝ S²₁ ／ S²₂
4. 結論
   検定量 F₀が臨界値よりも大きければ、有意水準αレベルにおいて帰無仮説（分散は等しい）を棄却する。

　Ｆ検定の結果、母分散が等しい⇒「等分散を仮定したｔ検定」
　　　　　　　　母分散が等しくない⇒「非等分散を仮定したｔ検定（ウェルチの検定）
　ただし、ｎが十分大であり、しかも、n₁ と n₂が近ければ、ｔ検定の結果にあまり影響しない。したがって、両群のサイズをできるだけ大きくし、サイズを等しくすることが望ましい。

[8.3] 関連した標本

8.3.1 関連した標本

関連した標本とは：

• 同一の被験者を、実験と統制の両条件下で観測する。実験順序による持ち越し効果に注意。
  
• 同一の被験者を、繰り返し観測し、ある処理の効果による時間的変化を観察する。
  
• １対の被験者が、調べようとする変数に関して同一であるようにする。ある調査項目に関して同レベルの被験者でグループを構成する。

8.3.2 検定量

　平均値の差が０である（平均値の等しい）２つの母集団から１対を抽出し、その差を D = X₁-X₂とする。n対からなる標本から、
　　　　　　　　　D~
　　検定量T = ---------- 　　〜N(0, 1²)
　　　　　　　S_D / √ｎ

[8.4]　男女の平均値差の検定

　新聞投書データの漢字率に関して、男女別データを用意して、それぞれの平均値に有意差があるかどうか、検定してみよう。

8.4.1 男女別漢字率データ準備

1. datahyou.dat 全体を選択して、「データ」メニューの「フィルタ」から「オートフィルタ」を選択。
   各列ラベルにフィルタ項目が設定される。
   
   
   
   
2. 「性別」データの▼をクリックすると、フィルタすべき項目が表示される。
   「男」を選択すると「男」性のデータだけが表示される。
3. 漢字率データ全体を選択して、新ブックの新シート（「性別漢字率」）のA列にペーストする。
4. 同様に、オートフィルタを使って女性データだけを表示させる。
   漢字率データを選択コピーして、「性別漢字率」シートのB列にペーストする。
5. A列、B列に「男性漢字率」、「女性漢字率」というラベルをつける。

8.4.2 男女２標本の等分散性を検定する

1. ２標本の分散を計算
2. ２標本の自由度を算出（データ数-1）
3. 検定量F₀を算出（分散の大きい方を分子にする）
4. 有意確率を計算(=fdist(F, df1, df2) )

1. 「ツール」メニューから「分析ツール」を選択し、「F検定：２標本を使った分散の検定」を選択する。
2. ダイアログの「入力元」において、「変数１」と「変数２」を指定する。（「ラベ ル」欄にチェック。）
3. 有意水準αを大きめ（α=0.05）に設定する。（等分散の採択域を狭く設定するために、α=0.25に設定することもある）
4. 出力先を指定する。
5. 検定量、臨界値、Ｐ値を読み取り、結論を出す。
6. 分析結果を報告する。（注：Excelの分析結果をそのまま流用してはならない。）

8.4.3 等分散を仮定しないｔ検定を行う

1. 「ツール」メニューから「分析ツール」を選択し、「ｔ検定：分散が等しくないと仮定した２標本による検定」を選択する。
2. 表示されるダイアログにおいて、「入力先」の「変数１」と「変数２」を指定する。（ラベル欄にチェック）
3. 「２標本の平均値の差」として０を指定する。（μ₁−μ₂＝０）
4. 有意水準αとして0.05を指定する。
5. 「出力先」を指定する。
6. 検定量、臨界値、Ｐ値を読み取り、結論を出す。
7. 分析結果を報告する。（注：Excelの分析結果をそのまま流用してはならない。）

8.4.4 平均値差の信頼区間を計算する

検定の結果、有意差があるときは、平均値差の信頼区間も算出してみよう。
大標本（２標本の合計が100以上）であれば、次のようにして下限値、上限値を求めます。

1. 平均値差＝X~₁−X~₂
2. 境界値＝z(α)またはtinv(α, 自由度)
   （自由度=n₁+n₂-2）
3. 標準誤差SE＝sqrt(S₁²/n₁ + S₂²/n₂)
4. 下限値＝平均値差 − 境界値*SE
   上限値＝平均値差 ＋ 境界値*SE
   （注：得られた区間が 0 を含まないことを確認する。）